Päässälasku on yksi tärkeimmistä matemaattisista taidoista; etenkin nykyään, kun matematiikan ylioppilaskirjoitukset painottuvat yhä enemmän ilman laskimia suoritettaviin tehtäviin. Liian usein kuitenkin turvaudumme tuttuun ja turvalliseen – eli siihen repusta löytyvään kalkulaattoriin.

Tämän päivityksen tavoitteena on valottaa lukijalle, kuinka helppoa ja nopeaa päässälasku on muutaman yksinkertaisen tekniikan avulla. Kouluissa opetettavat laskentatavat ovat vain jäävuoren huippu, eivätkä ne useinkaan mahdollista suurien numeroiden käsittelyä ilman laskinta. Luettuasi tekstin varmaan ihmetteletkin, miksei näitä kikkoja opeteta koulunpenkillä.


Pohdi hetki esimerkiksi kertolaskua 54 x 11. Kätesi varmasti hapuavat jo laskinta, vaikka sille ei todellakaan ole tarvetta.

Saat vastauksen simppelisti lisäämällä ensimmäisen luvun (54) molemmat numerot keskenään (5 + 4 = 9) ja lisäämällä saadun summan luvun keskelle (594). Helppoa. Tämä sääntö toimii aina siihen asti, kunnes luvun numeroiden summa on yli 9.

Varmaan mietit, että ’eihän tällainen voi toimia kaikissa tapauksissa’. Ei, ei se kaikissa tapauksissa toimikaan, mutta se on vain yksi niistä tuhansista tekniikoista, jotka helpottavat päässälaskua ja tekevät siitä salamannopeaa. Tämä päivitys antaa sinulle maistiaisen näistä mahtavista matematiikan työkaluista.


Perusteita

Yhteen- ja vähennyslaskut

Usein yhteen- ja vähennyslaskut opetetaan laskemaan oikealta vasemmalle. Esimerkiksi yhteenlasku 434 + 253 aloitettaisiin laskemalla yhteen lukujen oikeanpuoleiset numerot ja tämän jälkeen siirryttäisiin kymmeniin ja satoihin. Tai siis näin se tapahtuisi paperille kirjoitettaessa.

Nopeampi tapa on kuitenkin aina laskea päässälaskut vasemmalta oikealle. Tämä pätee etenkin kerto-, jako- ja potenssilaskuissa.

Lisäksi toisena nyrkkisääntönä voidaan pitää sitä, että numerot jaetaan helpommin hahmotettaviin osiin.

Yllä oleva yhteenlasku (432 + 253) kannattaisi siis aluksi purkaa osiin. Ensimmäiseksi lisätään sadat, sitten kymmenet ja lopuksi ykköset.

Yhteen- ja vähennyslaskuissa kannattaa myös mahdollisuuksien mukaan muuttaa lukuja helpompaan muotoon. Pohdi esimerkiksi laskua 887 + 396. Tässä tapauksessa kannattaisi ensin lisätä lukuun 396 luku 4 (396 + 4 = 400), sitten summata 887 + 400 = 1287 ja lopuksi vähentää saadusta summasta ylimääräinen luku 4 (1287 – 4 = 1283).

Samat säännöt pätevät yhtälailla vähennyslaskuihin. Tavoitteena on pilkkoa vähennettävät luvut yksinkertaisiin osiin ja käydä lasku vaiheittain läpi vasemmalta oikealle.

Kertolaskut

Ennen kuin hyppäät kertolaskuja koskevien tekniikkojen kimppuun, käy vielä läpi kertolaskutaulukko. Mitä nopeammin muistat jokaisen taulukon tulon, sitä nopeampaa myös suurempien lukujen kertominen on.

Aloitetaan helpoista laskuista ja tutkitaan kertolaskua 62 x 4. Jälleen kyse on monimutkaisten numeroiden pilkkomisesta yksinkertaisempaan muotoon. Kyse on siitä, miten pyörittelet lukuja mielessäsi. Ei todellakaan kannata lähteä summailemaan (62 + 62 + 62 +62), vaan ‘vasemmalta oikealle’ sääntö pätee edelleen. Esimerkkilasku pilkottaisiin osiin seuraavasti:

Luku 60 jaetaan siis osiin (60 ja 2). Tämän jälkeen molemmat osat kerrotaan luvulla 4.

Toinen kertolaskuihin liittyvä tekniikka on pyöristäminen (lisäys-/vähennysmetodi). Otetaan esimerkiksi kertolasku 59 x 4.

Aluksi 59 “pyöristetään” ylöspäin, eli siihen lisätään luku 1. Tämän jälkeen luvut kerrotaan yhteen (60 x 4) ja saadusta tulosta vähennetään lopuksi ensimmäisessä vaiheessa lisätty määrä.

Pyöristäminen toimii parhaiten sellaisten lukujen kanssa, jotka ovat lähellä kymmenen kertoimia (eli täysiä kymppejä).


’Vasemmalta oikealle’ sääntö alkaa toden teolla olla hyödyllinen päästäessä kolminumeroisiin lukuihin. Tällaiset laskut kannattaa siis jakaa vähintään kolmeen osaan, jonka jälkeen tulot summataan yhteen. Pohdi laskua 489 x 7.

Toisin sanoen, mitä suurempia lukuja kerrot, sitä useampaan osaan sinun tulee jakaa luku ja sitä haastavammaksi päässälasku muuttuu. Useiden numeroiden muistaminen kuitenkin helpottuu kertauksen kautta. Enkä nyt tarkoita mitään useita kuukausia kestävää matikkarumbaa: jo yhden päivän harjoittelulla päässälaskutaitosi kehittyvät huimasti.


Haluatko lisää haastetta? Siirry kertolaskuihin, joissa molemmat numerot ovat kaksinumeroisia. Tällaisten laskujen kanssa voit esimerkiksi käyttää kolmea erilaista tekniikkaa:

Lisäysmetodi

Esimerkkilasku: 42 x 47

Tutkaile ensin molempia lukuja. Jaa toinen luku (tässä tapauksessa 42) kahteen osaan: 40 ja 2. Tämän jälkeen kerro 40 x 47 = 1880, joka on siis sama kuin 4 x 47 yhdellä ylimääräisellä nollalla. Tämän jälkeen kerro 2 x 47 = 94. Lopuksi lisää tulot yhteen, 1880 + 94 = 1974.

Vähennysmetodi

Esimerkkilasku: 89 x 52

Tämä metodi sopii erinomaisesti lukuihin, joiden viimeinen numero on 8 tai 9.

Tutkaile ensin molempia lukuja. Jaa toinen luku (tässä tapauksessa 89) kahteen osaan: 90 ja -1. Tämän jälkeen kerro 90 x 52 = 4680, joka on siis sama kuin 9 x 52 yhdellä ylimääräisellä nollalla. Tämän jälkeen kerro -1 x 52 = -52. Lopuksi jälkeen suorita vähennyslasku: 4680 – 52 = 4628.

Jakaminen tekijöihin

Kolmas tapa on jakaa luvut takaisin tekijöihin. Tämä tapa vaatii hyvää hahmotuskykyä, mutta on harjoittelun jälkeen yleensä nopein tapa laskea kertolaskuja. Tekniikka ei nimittäin vaadi yhteen-  tai vähennyslaskuja (toisin kuin lisäys- ja vähennysmetodit) vaan saat tuloksen suoraan kertolaskujen kautta.

Esimerkkilasku: 52 x 49

Sinun tulisi hahmottaa, että 49 = 7 x 7. Tämän jälkeen lasku voidaan jakaa muotoon 52 x 7 x 7 ja vastaukseksi saadaan hyvinkin sutjakkasti 2548.

HUOM! Parhaiten tekijöihin jakaminen toimii laskuissa, joissa toinen luku on jaollinen luvulla 11 (muistatko vielä tekstin alussa opetetun kikan?). Esimerkiksi lasku 52 x 33 voidaan esittää muodossa 52 x 11 x 3. Koska meillä on nyt edessämme kertolasku 52 x 11, voimme käyttää aiemmin mainittua tekniikkaa: lisätään yhteen 5 + 2 = 7 ja lisätään tämä numeron 52 keskelle (572). Nyt jäljelle jää vain 572 x 3 ja vastaukseksi saadaan 1716.

Haastavampia päässälaskuja

Potenssit

Siirryttäessä potensseihin sinulla tulisi olla jo vahva pohja yhteen-, vähennys- ja kertolaskuissa. Potenssien päässälasku vaati hieman enemmän ponnistelua, mutta on todella vaikuttavaa kyetä laskemaan päässä esimerkiksi 316^3!

Kaksinumeroisten lukujen potenssit

Otetaan esimerkiksi 32^2. Laskua tulee jälleen lähestyä yksinkertaistamisen kautta. Potenssien kanssa työskenneltäessä et kuitenkaan voi pyöristää lukua lähimpään yksinkertaiseen lukuun (kuten tässä tapauksessa lukuun 30). Miten päässälasku sitten tulisi suorittaa?

Päässälasku voidaan esittää diagrammina seuraavasti:

Sinun tulee siis aluksi miettiä, mikä on lähin yksinkertainen luku. Tässä tapauksessa se on 30. Sinun tulee muodostaa kaksi erillistä lukua: Ensin vähennät luvusta 32 tarvittavan määrän päästäksesi lukuun 30 (eli 30 – 2 = 30). Tämän jälkeen sinun tulee lisätä lukuun 32 tuo samainen määrä (32 + 2 = 34). Saat kaksi lukua, eli luvut 30 ja 34. Kerro luvut keskenään ja lisää niihin vähentämäsi luvun potenssi.

Tämä tekniikka tekee etenkin numeroon 5 päättyvien lukujen potensseista erittäin helppoja, koska päässälasku muodostuu kahdesta yksinkertaisesta luvusta (täysistä kympeistä). Esimerkiksi 85^2 on yksinkertaisesti 80 x 90 + 5^2 = 7200 + 25 = 7225.

Kolminumeroisten lukujen potenssit

Kuvittele, että ystäväsi laskee paraikaa matematiikan kotitehtäviään ja tietyssä kohtaa tehtävää ystäväsi tulee laskea luvun 706 toinen potenssi. Ystäväsi on tietysti kaivamassa laskinta taskustaan, kun yhtäkkiä pysäytät hänet, lasket potenssin päässäsi ja kerrot ratkaisuksi 498 400. Ystäväsi ei tietenkään usko sinua vaan kaivaa esiin laskimensa ja näppäilee laskun näytölle. Ystäväsi ilme on luultavasti näkemisen arvoinen, kun laskimen näytöllä komeilee sama ratkaisu, jonka juuri laskit päässäsi.

Kolminumeroisten lukujen potenssi toimii täysin samalla periaatteella, kuin kaksinumeroistenkin. Haastavampaa tästä tekee jälleen se, että ratkaisu vaatii useiden vaiheiden läpikäymistä ja numeroiden säilyttämistä muistissa. Otetaan esimerkiksi 324^2.

Diagrammina lasku näyttää hankalalta, mutta rutiininomaisen harjoittelun avulla kolminumeroistenkin lukujen korottaminen toiseen potenssiin sujuu nopeasti. Haastavinta on pyrkiä muistamaan useita vaiheita ja suuria lukuja; kertauksen kautta tämäkin taito kehittyy ja pian latelet vastauksia nopeammin päässälaskuna kuin laskimen avulla.


Matemaattisissa aineissa vastaukseen päästään usein useammalla kuin yhdellä tavalla. Sama pätee päässälaskuihin: mitä enemmän sääntöjä muistat, sitä suurempia numeroita pystyt käsittelemään ja sitä kätevämmin löydät vastauksen mielesi syövereistä. Yllä mainituista tekniikoista ja työkaluista on hyvä lähteä liikkeelle. Näiden lisäksi päässälaskun avulla voidaan selvittää esimerkiksi viikonpäivä minkä tahansa päivämäärän perusteella sekä arvioida todella suurten lukujen tuloja ja potensseja. Näistä lisää tulevissa blogipäivityksissä!


 

Jäikö jokin askarruttamaan? Kommentoi alle!